ベクトルと行列──データを“数のかたまり”で表す

データサイエンスを学び始めると、突然出てくる「ベクトル」「行列」という言葉。

一見、物理や数学の専門用語のように感じますが、実は──データを扱うための言葉なのです。

ベクトル＝1人分のデータ
行列＝全員分のデータ

と考えると、一気に親しみやすくなります。

この記事では、図とPythonコードを使いながら
「なぜデータ分析にベクトル・行列が必要なのか」を直感的に整理していきます。

データ分析や機械学習を学ぶとき、必ず出てくる「ベクトル」と「行列」。
数学が苦手でも、手を動かしながら理解できる講座で学べば、ぐっと身近になります。

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この記事では、図とコードを使って「ベクトル＝1人分のデータ」「行列＝全員分のデータ」という直感をつかみます。

1. ベクトルとは──“1人分のデータ”をひとまとめに

ベクトルとは、複数の数値をひとつにまとめたもので、データ分析では、1人の観測データや1つのサンプルを表すときに使われます。

たとえば、ある人のプロフィールを次のように整理するとします。

この3つの数値を「まとめて1つのかたまり」にしたものがベクトルです。

$$\mathbf{<span\; style="font-family:\; YuGothic,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; Meiryo,\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; ProN\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Sans\text{'},\; sans-serif;"><img\; decoding="async"\; id="output"\; alt="equation"\; src="https://latex.codecogs.com/svg.image?x=\backslash begin\{bmatrix\}25\backslash \backslash 170\backslash \backslash 60\backslash end\{bmatrix\}"></span>}$$

ここでのポイントは、

• 1つの数字ではなく「3つの情報（年齢・身長・体重）」をひとつの単位として扱っている

• これが“1人分のデータ”という考え方

つまり、

ベクトル＝1人分（1つのサンプル）を表す数のまとまり

です。

💡 Pythonで表すとこうなります

import numpy as np
x = np.array([25, 170, 60])
print(x)

出力：

[ 25 170  60]

この1本のベクトル x は、「1人分のデータ行」 に相当します。

• x[0] → 年齢

• x[1] → 身長

• x[2] → 体重

つまり、ベクトルは「個人データを1つの箱にまとめたもの」と考えるとイメージしやすいです。

🔍 ちょっとだけ数学的に言うと…

ベクトルは 方向と大きさ を持つ量（＝向きのある数）ですが、データ分析では「特徴量の集まり（feature vector）」として使います。

つまり：

• 物理では「力や速度を表す矢印」

• 統計・機械学習では「1人の特徴を数で表した列」

同じ“ベクトル”でも、使う文脈で意味が少し違うのです。
ここでは後者、「データを扱うためのベクトル」 を扱います。

✅ まとめ

次の章では、この「ベクトル」が複数集まってできる行列（matrix）＝“全員分のデータ”
を見ていきましょう。

2. 行列とは？──“全員分のデータ”を表す

import numpy as np

X = np.array([
[25, 170, 60], # Aさん
[30, 180, 70], # Bさん
[22, 160, 50] # Cさん
])
print(X)

[[ 25 170  60]
 [ 30 180  70]
 [ 22 160  50]]

3. ベクトルと行列の関係──「点」と「面」

ベクトル＝点（矢印）

• 1人分のデータ は、3次元空間の**1つの点（=矢印の先）**だと思ってOK。

• 年齢・身長・体重の3軸の“座標”です。

行列＝点のあつまり（雲／面）

• 複数人のデータを並べた行列  は、たくさんの点の集まり（点群）。

• 似た傾向のデータは“同じ方向”に並ぶ＝面っぽい形が見えてきます（これが後で学ぶ「主成分」や「回帰直線／平面」の直感）。

まとめ
ベクトル＝1点、行列＝点群（面）。

ここから先は「点群に対して変換をかける」と考えると、行列演算が一気に腑に落ちます。

行列の操作が“データ処理”になる

例：身長を cm → m に一括換算（列ごと変換）

データ行列（行＝人、列＝[年齢, 身長, 体重]）を用意：

$$\begin{array}{ccc}\mathrm{<span\; style="font-family:\; YuGothic,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; Meiryo,\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; ProN\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Sans\text{'},\; sans-serif;"><img\; decoding="async"\; id="output"\; alt="equation"\; src="https://latex.codecogs.com/svg.image?x=\backslash begin\{bmatrix\}25\&170\&60\backslash \backslash 30\&180\&70\backslash \backslash 22\&160\&50\backslash \backslash \backslash end\{bmatrix\}"></span>}& & \end{array}$$

身長（2列目）だけを100分の1にしたい。

列ごとのスケーリングは、対角行列を右から掛けるだけ：

すると

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; YuGothic,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; Meiryo,\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; ProN\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Sans\text{'},\; sans-serif;"><img\; decoding="async"\; id="output"\; alt="equation"\; src="https://latex.codecogs.com/svg.image?X^\{\%27\}=\backslash begin\{bmatrix\}25\&1.70\&60\backslash \backslash 30\&1.80\&70\backslash \backslash 22\&1.60\&50\backslash \backslash \backslash end\{bmatrix\}"></span>}}^{}$$

— 身長の列だけ cm→m に変わりました。

ポイント：右掛け（

$\mathrm{<img\; decoding="async"\; id="output"\; alt="equation"\; src="https://latex.codecogs.com/svg.image?XS">}\mathrm{<span\; style="font-family:\; YuGothic,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; Meiryo,\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; ProN\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Sans\text{'},\; sans-serif;">）は“<strong\; data-start="890"\; data-end="895"\; style="display:\; inline\; !important;">列</strong>の操作”を表す、と覚えると便利です。</span>}$

Pythonではこう書く（@ は行列積）

import numpy as np

X = np.array([
[25, 170, 60],
[30, 180, 70],
[22, 160, 50]
])

scale = np.diag([1, 0.01, 1]) # 年齢×1, 身長×0.01, 体重×1
X_converted = X @ scale
print(X_converted)

出力（見やすく整形）：

[[25.   1.7 60. ]
 [30.   1.8 70. ]
 [22.   1.6 50. ]]

なぜ右から？
行列の列は「変数（項目）」だから。右掛けで列ごとに独立の比率をかけられます（左掛けは行＝“人”の操作）。

変換のバリエーション（実務で超よく使う）

• 平行移動（中心化）：各列から平均を引く
  (は列平均）
  → 回帰・PCAの前処理の定番

• 標準化：列ごとに
  → スケールを揃え、距離・学習を安定化

• 回転・射影：直交行列 や基底 を右掛け
  
  → PCAでの次元圧縮や特徴抽出の本体

• 線形モデルの予測：
  
  → 重みベクトル との積で一括予測

合言葉：「行列×（右掛け）＝列方向の一括変換」。

これが“データ処理＝行列操作”という発想のコアです。

超要約

• ベクトル＝1人分の点、行列＝点群（面）。

• 列単位の処理（単位換算・標準化・特徴抽出）は右から対角／基底行列を掛けるだけ。

• ほぼすべての前処理・PCA・回帰・ニューラルネットは、この拡張版だと思えばOK。

4. 行列は“データ変換の装置”

行列を掛ける＝線形変換（回転・拡大・縮小・射影）

データ行列 （行＝サンプル、列＝特徴）に行列を掛けると、座標軸を入れ替えたり、伸ばしたり、向きを変えたりできます。

これが「線形変換」。イメージは透明なフィルターを通す感じです。

• 右から掛ける … 列（特徴量）方向の変換

  • 例：単位換算、標準化、特徴の再合成、次元圧縮（PCAの射影）

• 左から掛ける  … 行（サンプル）方向の変換

  • 例：サンプルの加重平均、バッチ結合など（実務では右掛けが主役になりがち）

具体例①：スケーリング（単位換算・重みづけ）

身長だけ cm→m に換算したい（列ごとに比率を掛ける）：

→ 右掛け＝列操作なので、2列目（身長）だけが 1/100 になります。

具体例②：回転（座標軸の入れ替え・混ぜ合わせ）

2次元の点群 を角度 回す回転行列：

→ 形は保ったまま向きだけ変える（距離・角度は保たれる）。

PCAで「より説明力のある向きに回す」直感に近いです。

具体例③：射影（次元圧縮＝“影”を落とす）

高次元のデータを、低次元の「意味のある軸」に**落とす（写す）**操作。

列正規直交な基底行列 （列数＝新しい次元）を使って：

• （サンプル数 、元の次元 ）

• (取り出したい次元  の基底）

•  (圧縮後の表現）

PCAでは、ばらつきが最大になる方向（主成分ベクトル）を列にもつ

$W$

を使い、 で情報を保ったまま次元を小さくします。

具体例④：標準化（スケールを揃えて学習を安定）

各列の平均を0、分散を1に：

• 平行移動（中心化）→ 引き算は行列の和で表せる

• 列スケールの統一 → 右から対角行列を掛ける

距離計算・回帰・クラスタリングが安定＆公平になります。

具体例⑤：機械学習の「1層」は行列積

ニューラルネット（全結合層）の基本式：

• ：重み（特徴の混ぜ合わせ＝新しい表現を作る）

• ：バイアス（平行移動）

• ：非線形（ReLUやSigmoidなど）
  → 行列積がコア。学習で  を更新し、「欲しい出力が出る変換」をデータから見つけます。

ミニコード：PCA風の射影（概念デモ）

import numpy as np

# データ（nサンプル×d次元）
X = np.array([
[25, 170, 60],
[30, 180, 70],
[22, 160, 50],
[28, 175, 68],
[27, 172, 63],
], dtype=float)

# 1) 列方向の中心化
mu = X.mean(axis=0, keepdims=True)
Xc = X - mu

# 2) 共分散行列（d×d）
Sigma = (Xc.T @ Xc) / (len(Xc)-1)

# 3) 固有分解で主成分方向を取得（説明のためSVDでもOK）
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(Sigma) # 列が固有ベクトル
W = eigvecs[:, ::-1][:, :2] # 分散の大きい順に2次元を採用

# 4) 低次元へ射影（n×2）
Z = Xc @ W
print(Z) # → 3次元→2次元へ「情報の多い向き」に圧縮

出力：

[[  2.84492057  -0.37940977]
 [-12.11473302  -0.97623555]
 [ 17.26523103  -0.07376421]
 [ -6.87648814   1.3676765 ]
 [ -1.11893043   0.06173304]]

ポイント：

• 中心化 → 共分散 → 固有分解 → 射影がPCAの心臓部

• まさに「 に行列 を右掛けして、良い向きに並び替える」

「なるほど、コードで変換するとこうなるのか！」と思った方は、実際に自分のデータで試してみるのがいちばん理解が早いです。

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一言まとめ

• 行列は“データ変換の装置”。右掛けで**列（特徴）**をまとめて変換。

• スケーリング・回転・射影・標準化・ニューラルネットの重み付け……
  すべてが「行列を掛ける＝フィルターを通す」の応用。

• PCAもNNも、根っこは同じ直感で捉えられます。

合言葉：行列×＝特徴をまとめて加工するフィルター。
これがわかると、数式が“処理の設計図”に見えてきます。

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