推定とは？母集団と標本の関係を直感で理解する

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('ggplot') #グラフのスタイル
plt.rcParams['figure.figsize'] = [12, 9] #グラフサイズ設定
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.family'] = 'MS Gothic' #豆腐化防止
np.random.seed(0)

# 母集団（10万人）
population = np.random.normal(loc=170, scale=5, size=100000)

# 標本（母集団から重複なしで5万人抽出）
sample = np.random.choice(population, 50000, replace=False)

# ★同じビン・同じ範囲（countで比較する）
bins = np.linspace(population.min(), population.max(), 41) # 40ビン
range_ = (population.min(), population.max())

# 先に母集団（赤）を塗り、上に標本（青の枠付き）を重ねる
plt.hist(population, bins=bins, range=range_,
color='lightcoral', alpha=0.35, label='母集団（10万人）', edgecolor='none')

plt.hist(sample, bins=bins, range=range_,
color='skyblue', alpha=0.9, label='標本（5万人）',
edgecolor='black', linewidth=0.8)

# 参考線
plt.axvline(sample.mean(), color='red', linestyle='--', linewidth=2,
label=f'標本平均={sample.mean():.2f}')
plt.axvline(170, color='black', linestyle=':', linewidth=1.8,
label='母平均=170')

plt.xlabel("身長 (cm)")
plt.ylabel("人数") # ← count（人数）
plt.title("母集団と標本の関係（標本は母集団の中に含まれる）", fontsize=13, fontweight='bold')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig("母集団と標本の関係.png")
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

np.random.seed(0)

# 仮想の母集団（平均170、標準偏差5）
population = np.random.normal(loc=170, scale=5, size=100000)
mu_true = population.mean()
sigma_true = population.std(ddof=0)

n = 100 # 標本サイズ
R = 500 # 繰り返し回数

# 500回の標本平均
means = [np.random.choice(population, n, replace=False).mean() for _ in range(R)]
means = np.array(means)

# 理論的な標準誤差
SE = sigma_true / np.sqrt(n)

# 可視化
plt.style.use('ggplot')
plt.figure(figsize=(9, 5))
plt.hist(means, bins=30, density=True,
color='skyblue', edgecolor='black', alpha=0.8,
label='標本平均の分布（R=500）')

# 理論正規分布を重ねる
x = np.linspace(means.min()-0.5, means.max()+0.5, 300)
plt.plot(x, norm.pdf(x, loc=mu_true, scale=SE), 'r--', lw=2,
label=f'理論N(μ={mu_true:.2f}, SE={SE:.2f})')

# 参照線
plt.axvline(mu_true, color='black', linestyle=':', linewidth=2, label='母平均 μ')
plt.axvline(means.mean(), color='blue', linestyle='--', linewidth=2,
label=f'標本平均の平均 {means.mean():.2f}')

plt.title("標本平均の分布と理論曲線（不偏と標準誤差）")
plt.xlabel("標本平均")
plt.ylabel("確率密度")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig("標本平均の分布と理論曲線.png")
plt.show()

ここまで見てきたように、標本平均は毎回少しずつ違います。

つまり「母平均（真の平均）」を推定するときには、どうしても“誤差”がつきものです。

その誤差を「どのくらいの範囲で起こりそうか」を数で表すのが、信頼区間（confidence interval, CI） です。

📏 信頼区間とは？

1回の標本から計算した平均（(\bar X)）は、偶然で少しズレます。
そのズレの目安が 標準誤差（Standard Error） です：

ここで、
( )：標本標準偏差（ばらつき）
( )：標本のサイズ

このSEをもとに、「() のまわりに母平均 () が入りやすい範囲」を作る──
それが 信頼区間（Confidence Interval） です。

💡 95%信頼区間とは？

同じ抽出と計算を無数に繰り返したとき、
95%の区間が真の母平均 ( ) を含むように設計された手順のこと。

つまり、

一度計算して出た“この区間”が95%の確率で当たる
というよりも、手順として95%当たるように作られている という理解が正確です。

⚙️ どうやって作るの？（平均の95%CI）

母分散（σ²）はふつう未知なので、現実の推定では t分布 を使います。

95% CI:　

• ：標本平均
• ：標本標準偏差（不偏、ddof=1）
• ：標本サイズ
• ：自由度 の 分布の上側2.5%点

💻 コード（計算の中身を確認）

from scipy import stats
import numpy as np

# 例: 既に sample と sample_mean がある前提
n = len(sample)
xbar = sample_mean
s = np.std(sample, ddof=1) # 不偏標準偏差
se = s / np.sqrt(n) # 標準誤差（s使用）

t_crit = stats.t.ppf(0.975, df=n-1) # 95%CIのt臨界値
half_width = t_crit * se # 片側の幅
ci_low, ci_high = xbar - half_width, xbar + half_width

print(f"標本平均 = {xbar:.2f}")
print(f"標準誤差 SE = {se:.3f}")
print(f"t臨界値 = {t_crit:.3f}")
print(f"95%信頼区間 = ({ci_low:.2f}, {ci_high:.2f})")

📊 出力例

標本平均 = 170.00
標準誤差 SE = 0.022
t臨界値 = 1.960
95%信頼区間 = (169.96, 170.05)

実務的な読み方：
「母平均はおそらく 168.9〜171.2cm の範囲にある（95%の信頼度）」

統計的に正確な言い換え：
「この作り方の区間は、長期的に見ると95%の区間が真の平均を含む。
今回得られた区間も、そのように作られた区間の一つ。」

🔍 なぜ “s” を使うの？── σとの違い

ここが信頼区間の理解で最も重要なポイントです。
**σ（母標準偏差）とs（標本標準偏差）**は似ているようで、意味が異なります。

理論上の世界（σがわかるとき）

→ 標本平均は 正規分布  に従う。
→ 信頼区間は「正規分布ベース」で計算できる。

現実の世界（σが未知なとき）

→ は の推定値なので、誤差の不確実性が少し増える。
→ そのため、正規分布より裾が広い t分布 を使う。
→ 信頼区間もやや広くなる（＝慎重な推定）。

視覚的にまとめると

📈 数式で整理

• σ既知のとき：
• σ未知（s使用）のとき：

→ これが t検定やt信頼区間で t分布が登場する理由です。

🧭 可視化：95%信頼区間を「線」で見る

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 例：信頼区間データ
xbar = 170.00 # 標本平均
ci_low = 169.93 # 信頼区間下限
ci_high = 170.07 # 信頼区間上限

# グラフ設定
plt.style.use('ggplot')
plt.figure(figsize=(8, 1.8))

# 信頼区間ライン
plt.hlines(1, ci_low, ci_high, color='steelblue', linewidth=6, alpha=0.8, label="95%信頼区間")
# 平均値マーカー
plt.plot(xbar, 1, 'o', color='darkred', markersize=10, label=f'平均 {xbar:.2f} cm')

# 軸とタイトル
plt.xlabel("身長 (cm)", fontsize=11)
plt.yticks([])
plt.title("95%信頼区間（平均 ± t × SE）", fontsize=13, pad=10)

# 軸の見やすさ調整
plt.ticklabel_format(style='plain', axis='x') # 科学的記数法を解除
plt.xlim(ci_low - 0.1, ci_high + 0.1) # 少し余白をとる

# 凡例
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10, frameon=True)

plt.tight_layout()
plt.savefig("95%信頼区間.png")
plt.show()

上の図では、

• 青い横棒：母平均が入りそうな範囲（信頼区間）
• 赤い点：標本平均

この区間は標本ごとに少しずつ変わりますが、
多数の標本を取れば、その95%の区間が真の母平均を含むように作られています。

⚠️ 信頼区間の前提（これが崩れると精度が落ちる）

1. 無作為抽出・独立性：同質な母集団からランダムに抽出すること
2. 分布が極端でない、または 標本サイズが十分大きい
   （小標本なら正規性が必要。大標本なら中心極限定理でOK）
3. 外れ値の影響：極端な値があると信頼区間が不安定になる

💬 一言でまとめると

は「本当のばらつき」、sは「標本から推定したばらつき」。

だから現実の信頼区間は、σが未知なぶん t分布を使って少し広めに作る。

これは“慎重で信頼できる推定”という統計の思想です。