比例式:解き方の基本とPythonコード

数学

比例式は、私たちの身の回りでよく見かける数学の概念です。

例えば、スーパーでのお買い物やレシピなど、様々な場面で比例式が活用されています。

この記事では、比例式の基本的な考え方から、分数や括弧を含む複雑な比例式の解き方まで、わかりやすく解説していきます。

Pythonを使った計算例も交えながら、より深く比例式の世界を探求してみましょう。

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比例式:解き方の基本を解説

比例式の基本的な考え方と解き方。

比例式とは、2つの量の間にある比例の関係を表す式のことです。

例えば、「りんご1個が100円なら、りんご2個は200円」というように、一方の量が変化すると、もう一方の量もそれに比例して変化する場合、比例式で表すことができます。

比例式にはA : B = C : Dの時、内項(BとC)の積と外項(AとD)の積は等しい」という性質があります。

つまり、「A : B = C : Dの時、A x D = B X C」が成り立ちます。

例として、2 : 4 = 3 : 6の場合、2 X 6 = 4 X 3 は12 = 12で成り立ちます。

簡単ですね。

では「3 : x = 9 : 12」場合はどうでしょうか。

これも基本的には同じように、

9 x = 3 X 12

9x = 36

x= 4

計算できます。

ちなみにPythonを使って計算すると、以下のようになります。

# 与えられた比例式の値
A = 3
B = 9
C = 12

# 比例の性質を使用してxを計算
x = (A * C) / B

print("x =", x)
x = 4.0

比例式の解き方の基本総まとめ:分数やかっこがあっても大丈夫!

分数を含む比例式の解き方を解説

分数を含む比例式も、基本的な解き方は同じです。「内側の積 = 外側の積」 という関係を利用して方程式を作り、それを解けば未知の値を求めることができます。

分数を含む比例式の解き方について、もう少し詳しく解説します。

例題:3/4 : x = 5/6 : 2/3

1. 比例式の基本的な性質を利用する

比例式では、「内側の積 = 外側の積」という関係が成り立ちます。 つまり、この例題では、

  • 内側の積: 3/4 × 2/3
  • 外側の積: x × 5/6 となり、これらが等しいという方程式を立てることができます。

2. 方程式を立てる 上記の考え方を元に、次の方程式が立てられます。

(3/4) × (2/3) = x × (5/6)

 

3. 分数の計算 両辺の分数を計算します。

(1/2) = (5/6)x

 

4. xの係数を消去する xの係数である5/6を消去するために、両辺に6/5をかけます。

(1/2) × (6/5) = (5/6)x × (6/5)

 

5. 計算を続ける

3/5 = x

 

6. 答え よって、x = 3/5 となります。

Pythonを使って計算してみる

Pythonを使って計算してみましょう。

# 比例式が与えられています
a = 3/4
b = 5/6
c = 2/3

# 比例の性質を使ってxを解く
x = (a * c) / b

print("x =", x)
x = 0.6

かっこを含む比例式 かっこを含む比例式の解き方を解説

括弧を含む比例式も、基本的な解き方は同じです。「内側の積 = 外側の積」 という関係を利用して方程式を作り、それを解けば未知の値を求めることができます。

ポイント:

  • 括弧を展開: まず、括弧を展開して式をシンプルにします。
  • 内側の積と外側の積: 展開した式で、内側の積と外側の積を計算します。
  • 方程式を解く: 計算した結果を等号で結び、未知の文字について解きます。

括弧を含む比例式の解き方について、例題を見ながらもう少し詳しく解説します。

例題:(2x + 1) : 3 = 5 : (x – 2)

1. 比例式の基本的な性質を利用する

比例式では、「内側の積 = 外側の積」という関係が成り立ちます。 つまり、この例題では、

  • 内側の積: (2x + 1) × (x – 2)
  • 外側の積: 3 × 5 となり、これらが等しいという方程式を立てることができます。

2. 方程式を立てる 上記の考え方を元に、次の方程式が立てられます。

(2x + 1) × (x - 2) = 3 × 5

 

3. 括弧を展開する 左辺の括弧を展開します。

2x² - 3x - 2 = 15

 

4. 方程式を整理する すべての項を左辺に移項し、整理します。

2x² - 3x - 17 = 0

 

5. 二次方程式を解く この式は二次方程式なので、因数分解、解の公式などの方法で解きます。この場合は、因数分解ができないため、解の公式を用います。 解の公式は、

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

 

です。 この問題の場合、a = 2, b = -3, c = -17 となるので、公式に代入して計算します。

6. 答え 計算の結果、xの値が2つ求まります。

Pythonを使って計算してみる

Pythonを使って計算してみましょう。

from sympy import symbols, Eq, solve

# 変数を定義
x = symbols('x')

# 方程式を設定
equation = Eq((2*x + 1) * (x - 2), 5 * 3)

# 方程式を解く
solutions = solve(equation, x)

# 解を表示
print("x =", solutions)
x = [3/4 - sqrt(145)/4, 3/4 + sqrt(145)/4]

このように解が二つ求められました。

比例式は、一見複雑に見えるかもしれませんが、基本的な考え方さえ押さえれば、どんな問題でも解くことができます。

この文章では、比例式の定義から、分数や括弧を含む問題の解き方まで、様々な角度から解説しました。

Pythonを活用することで、複雑な計算も簡単に実行できることが分かりました。

比例式は、数学の基礎となる重要な概念です。

この知識を活かして、ぜひ様々な問題に挑戦してみてください。

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