比例式は、私たちの身の回りでよく見かける数学の概念です。
例えば、スーパーでのお買い物やレシピなど、様々な場面で比例式が活用されています。
この記事では、比例式の基本的な考え方から、分数や括弧を含む複雑な比例式の解き方まで、わかりやすく解説していきます。
Pythonを使った計算例も交えながら、より深く比例式の世界を探求してみましょう。
比例式の解き方を解説
比例式の基本的な考え方と解き方。
比例式とは、２つの量の間にある比例の関係を表す式のことです。
例えば、「りんご1個が100円なら、りんご2個は200円」というように、一方の量が変化すると、もう一方の量もそれに比例して変化する場合、比例式で表すことができます。
比例式には「A : B = C : Dの時、内項（BとC）の積と外項（AとD）の積は等しい」という性質があります。
つまり、「A : B = C : Dの時、A x D = B X C」が成り立ちます。
例として、2 : 4 = 3 : 6の場合、2 X 6 = 4 X 3 は12 = 12で成り立ちます。
簡単ですね。
では「3 : x = 9 : 12」場合はどうでしょうか。
これも基本的には同じように、
9 X x = 3 X 12
9x = 36
ｘ= 4
計算できます。
ちなみにPythonを使って計算すると、以下のようになります。
# 与えられた比例式の値 A = 3 B = 9 C = 12 # 比例の性質を使用してxを計算 x = (A * C) / B print("x =", x)
x = 4.0
分数やかっこがあっても大丈夫！ 比例式の解き方総まとめ
分数を含む比例式の解き方を解説
分数を含む比例式も、基本的な解き方は同じです。「内側の積 = 外側の積」 という関係を利用して方程式を作り、それを解けば未知の値を求めることができます。
分数を含む比例式の解き方について、もう少し詳しく解説します。
例題：3/4 : x = 5/6 : 2/3
1. 比例式の基本的な性質を利用する
比例式では、「内側の積 = 外側の積」という関係が成り立ちます。 つまり、この例題では、
- 内側の積: 3/4 × 2/3
- 外側の積: x × 5/6 となり、これらが等しいという方程式を立てることができます。
2. 方程式を立てる 上記の考え方を元に、次の方程式が立てられます。
(3/4) × (2/3) = x × (5/6)
3. 分数の計算 両辺の分数を計算します。
(1/2) = (5/6)x
4. xの係数を消去する xの係数である5/6を消去するために、両辺に6/5をかけます。
(1/2) × (6/5) = (5/6)x × (6/5)
5. 計算を続ける
3/5 = x
6. 答え よって、x = 3/5 となります。
Pythonを使って計算してみる
Pythonを使って計算してみましょう。
# 比例式が与えられています a = 3/4 b = 5/6 c = 2/3 # 比例の性質を使ってxを解く x = (a * c) / b print("x =", x)
x = 0.6
かっこを含む比例式 かっこを含む比例式の解き方を解説
括弧を含む比例式も、基本的な解き方は同じです。「内側の積 = 外側の積」 という関係を利用して方程式を作り、それを解けば未知の値を求めることができます。
ポイント:
- 括弧を展開: まず、括弧を展開して式をシンプルにします。
- 内側の積と外側の積: 展開した式で、内側の積と外側の積を計算します。
- 方程式を解く: 計算した結果を等号で結び、未知の文字について解きます。
括弧を含む比例式の解き方について、例題を見ながらもう少し詳しく解説します。
例題：(2x + 1) : 3 = 5 : (x – 2)
1. 比例式の基本的な性質を利用する
比例式では、「内側の積 = 外側の積」という関係が成り立ちます。 つまり、この例題では、
- 内側の積: (2x + 1) × (x – 2)
- 外側の積: 3 × 5 となり、これらが等しいという方程式を立てることができます。
2. 方程式を立てる 上記の考え方を元に、次の方程式が立てられます。
(2x + 1) × (x - 2) = 3 × 5
3. 括弧を展開する 左辺の括弧を展開します。
2x² - 3x - 2 = 15
4. 方程式を整理する すべての項を左辺に移項し、整理します。
2x² - 3x - 17 = 0
5. 二次方程式を解く この式は二次方程式なので、因数分解、解の公式などの方法で解きます。この場合は、因数分解ができないため、解の公式を用います。 解の公式は、
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
です。 この問題の場合、a = 2, b = -3, c = -17 となるので、公式に代入して計算します。
6. 答え 計算の結果、xの値が2つ求まります。
Pythonを使って計算してみる
Pythonを使って計算してみましょう。
from sympy import symbols, Eq, solve # 変数を定義 x = symbols('x') # 方程式を設定 equation = Eq((2*x + 1) * (x - 2), 5 * 3) # 方程式を解く solutions = solve(equation, x) # 解を表示 print("x =", solutions)
x = [3/4 - sqrt(145)/4, 3/4 + sqrt(145)/4]
このように解が二つ求められました。
比例式は、一見複雑に見えるかもしれませんが、基本的な考え方さえ押さえれば、どんな問題でも解くことができます。
この文章では、比例式の定義から、分数や括弧を含む問題の解き方まで、様々な角度から解説しました。
Pythonを活用することで、複雑な計算も簡単に実行できることが分かりました。
比例式は、数学の基礎となる重要な概念です。
この知識を活かして、ぜひ様々な問題に挑戦してみてください。
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