ベクトルの成分と角度の求め方：Pythonによる視覚化

ベクトルの成分と角度を求める方法は、物理学や工学分野で頻繁に用いられます。

ベクトルの成分とは、始点から終点までの各座標軸方向の変化量を指し、これを求めることでベクトルの方向や長さが明確になります。

本稿では、A座標 (4, 2) と B座標 (6, 5) を例に、ベクトルの成分と方向を導出し、Pythonコードを使用して視覚的に確認します。

また、ベクトルの角度を求める方法についても詳しく解説し、tanの逆関数を用いた計算例を示します。

ベクトルの成分を求める

A座標（4, 2)、B座標が(6,5)の場合ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の成分は

$\overrightarrow{AB}=\binom{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}$

を用いて、

$\overrightarrow{AB}\binom{6-4}{5-2}=\binom{2}{3}$

つまり

$\mathbf{AB} = (2, 3)$

これは、Bの座標 (6, 5) からAの座標 (4, 2) を引いた結果です。グラフも示しましたが、ベクトルは点A(4, 2)から点B(6, 5)へ向かう方向で描かれています。

以下ベクトルの成分を求めるコードになります。

# ベクトルABの成分を求めるには、点Bの座標から点Aの座標を引きます。
# ベクトルAB = (Bのx座標 - Aのx座標, Bのy座標 - Aのy座標)

# 座標の定義
A = (4, 2)
B = (6, 5)

# ベクトルABの成分を計算
vector_AB = (B[0] - A[0], B[1] - A[1])

# ベクトルを描画するためにmatplotlibを使用
import matplotlib.pyplot as plt

# ベクトルの始点と終点をプロット
plt.quiver(A[0], A[1], vector_AB[0], vector_AB[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r')

# 座標軸の設定
plt.xlim(0, 10)
plt.ylim(0, 10)
plt.grid(True)

# 点Aと点Bのラベル
plt.text(A[0], A[1], 'A(4, 2)', fontsize=12, verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B(6, 5)', fontsize=12, verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right')

# タイトルとラベル
plt.title('Vector AB')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 結果を表示
plt.show()

# ベクトルABの成分を出力
vector_AB

ベクトルの方向を求める

ベクトルの方向は成分の符号を見ることで、おおよその向きを知ることができます。

xの値が負の場合右から左のベクトルに、yが負の場合上から下へのベクトルになりますね。

では次にベクトルの角度 $\theta$ を求めてみましょう。

まず、ベクトルの終点からx軸に向かって直線を描き、tanの逆関数を用いて以下のように表します。

$\theta=tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$

では実際に計算してみます。

tanの逆関数は、mathモジュール　tatn2()関数を使って求めてみましょう。

以下のコードを実行すると、角度 $\theta$ は56.31度となります。

import math 
rad = math.atan2(3, 2) 
th = math.degrees(rad)
th = round(th, 2)
th

ではx, y がマイナスの場合の角度も求めてみます。

以下のコードを実行すると、角度 $\theta$ は123.69度になります。

import math 
rad = math.atan2(-3, -2) 
th = math.degrees(rad)
th = round(th, 2)
th

ベクトルの角度計算を行う場合、x軸の正方向を0とし、上向きのベクトルは反時計回りに180度、反対に下向きの場合は時計回りに-180度の値になります。

まとめ

ベクトルの成分と角度を求めることで、空間内での向きや角度を正確に把握できます。

座標の差からベクトルの成分を求め、atan2関数で角度を計算することで、ベクトルの向きも明確になります。

Pythonコードを用いることで、これらの計算結果を直感的に視覚化でき、計算の確認も容易です。