中心極限定理の問題：正規分布からPythonを使って確率を求める

中心極限定理とは

確率を正規分布を使って求めるのですが、その時に知っておきたいのが「中心極限定理」です。

面倒くさそうな文字ですが、知っておくと確率の考え方を理解するのに役に立ちますので、ざっくりと覚えましょう。

簡単に言うと「母集団から取り出した標本の平均は、標本数を十分大きくしたとき正規分布に近づく（演習で身につける統計学より）」という定理です。

ではなぜ正規分布が都合がいいのかというと、以下の３点があるから（プログラミングのための確率統計）。

ある値 $\mu$ を中心として
その付近の値は出やすく
そこから外れた値ほど出にくくなる

世の中はそんな正規分布にあふれているので、使い勝手がいいんですね。

とりあえず、中心極限定理の数式を載せておきます。

１．標本平均の期待値は母平均に等しい

$E\left [ \bar{X} \right ] = \mu$

2. 標本平均の分散は母分散を標本数 n で割ったものに等しい。

$E\left [ (\bar{X}-\mu )^{2} \right ] = \frac{\sigma ^{2}}{n}$

というわけで、標本採集の回数を増やすとどうなるか見てみましょう。

標本採取の数を増やすシミュレーションを行う

下のコードは、6,7,8,9,10という数字の中から4個をランダムに取り出し、その平均を求める操作を40000回繰り返すものです。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

t = list()
for i in range(40000):
　　s = np.random.randint(6, 11, 4)
　　t+= [sum(s)/len(s)]

plt.hist(t, bins=16)

この操作を行って得られた平均をグラフ化すると、以下のようなきれいな正規分布になりますね。

中心極限定理と標準化を使って確率を求める

では、実際に中心極限定理の概念と標準化を使って、確率を求めてみたいと思います。

例えば以下のような場合。

果物店の果物一個当たりの重量が平均257g で分散が63の場合、35個取り出した時の標本平均が260g以上になる確率を求めてみます。

Pythonにはこのような計算を簡単に行うためのパッケージが用意されていて、scipyもその一つになります。

以下コードになります。

from scipy.stats import norm 　# scipyのstatsからnorm(正規分布）読み込む。
p = norm.cdf(x = 260, loc = 257, scale = ((63/35)**0.5))

print(1-p)
0.0126736593387341

以上より、果物が260g以上になる確率は0.0126、つまり1.26％ですね。

もう一つやってみましょう。

英語の成績が平均が67点で分散が28の場合、40人を無作為に取り出した時の平均が65点から69点の範囲にある確率を求める。

この場合、65点のまでの確率と69点までの確率を求め、69点までの確率から65点までの確率を引くと、その範囲にある確率を求めることができます。

from scipy.stats import norm
p1 = norm.cdf(x = 65, loc = 67, scale = ((28/40)**0.5))
p2 = norm.cdf(x = 69, loc = 67, scale = ((28/40)**0.5))

print(p2-p1)
0.9831725905172433

以上の計算により、確率は98％になります。

では以下のような場合は別のやり方が必要になります。

例えば、

英語の試験を受けた生徒の中から無作為に選んだ37人の平均と分散は63と36。

この時、母集団の平均が60未満になる確率を求める。

この場合、母分散 $\sigma ^{2}$ には以下の関係があります。

$\sigma ^{2} = S^{2}n/(n-1)$

これを使って、中心極限定理に当てはめ標準化すると以下のようになります。

$Z = \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n-1}}$

といっても、scipyを使っても計算できるので、サクッと計算してしまいましょう。

と、その前に、標本データの平均は母集団の平均と違う可能性が大きいです。

そのため、母集団の分散は標本データの分散よりも大きくなるので、補正する必要があるんですね。

それが（n – 1)の意味になり、今回の問いの場合は（37－1）というわけです。

scipyでも同じ考え方で、確率を求めます。

from scipy.stats import norm
p3 = norm.cdf(x = 60, loc = 63, scale = ((36/(37-1))**0.5))

print(p3)
0.0013498980316300933

計算してみると確率は0.0013、つまり0.13%ということになります。

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